玛丽莲问题(Monty Hall problem)-数学趣题

上次的“陶哲轩的数学题”引起了很多讨论。面对留言中的争论,我想,如果把以前遇到的2/3概率问题拿出来,更不知争论要到何种激烈程度!今天,槽边往事发表的《玛丽莲问题》,就是这个经典问题:

你参加电视台的一个抽奖节目。台上有三个门,一个后边有汽车,其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个,你看到是山羊。这时,他给你机会让你可以重选,也就是你可以换选另一个剩下的门。那么,你换不换?

这是一个好题目

好题目的意思是:思考的收益远超过结论本身。我在多年前初见此题时,就从不同角度分析过,以试图找出最直观的证明方法,也就是最简单的推理。我自认为找到了。分析关键:问题是策略选择;比较。别不多说了。

想不清楚的,请看维基百科词条:Monty Hall problem ,过一段时间补充一下结论。(完)>

《玛丽莲问题(Monty Hall problem)-数学趣题》有72个想法

  1. 不换得到汽车的几率很容易:三个中选一个汽车,几率1/3;

    而主持人打开一个门后,给人带来一个诱惑:似乎是2选1,50%的几率了!

    但是,他打开不打开,你面对的几率还是没有变化的, 因为无论怎么选择,总是会剩下一个羊的,这与他打开不打开无关。

  2. 本来几率是1/3
    主持人把门打开以后,几率变成1/2
    几率确实是提升了

    然而他是否重新选择都无所谓
    无论他换不换,都相当于从两个门中选一个
    几率都是1/2

  3. 这道题目的标准答案是换选二号门。

    (一)条件概率:全概率和贝叶斯公式解

    游戏开始,设P(X)为A、B、C三道门后面有车的概率,则P(A)=P(B)=P(C)=1/3
    假定:游戏者任选了一道门A,而主持人(HOST)打开一道后面是羊的门,事实上有两种情
    况。

    1. 主持人了解所有门后面的东东,他一定要打开一扇“羊”门
    如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门(“羊”门)的概率为
    P(Host opens C|A) = 1/2
    如果车在B门后面,主持人没有选择,只能打开C门
    P(Host opens C|B) = 1
    如果车在C门后面,主持人一样没得选择,绝对不能开C门
    P(Host opens C|C) = 0

    所以,主持人打开C门的概率为
    P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)
    = 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2

    根据贝叶斯公式,在主持人打开C门的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为
    P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)
    = (1/6) / (1/2)
    = 1/3
    P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)
    = (1/3) / (1/2)
    = 2/3
    这就是为什么要换二号门的原因。

    2. 主持人和游戏者一样蒙在鼓里,他是碰巧打开一扇“羊”门,那么
    如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门的概率为
    P(Host opens C|A) = 1/2
    如果车在B门后面,主持人一样有B、C两种选择,打开C门的概率还是
    P(Host opens C|B) = 1/2
    如果车在C门后面,主持人还是有B、C两种选择,只是打开C门不可能看到羊
    P(Host opens C|C) = 0

    所以,主持人打开C门见到羊的概率为
    P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)
    = 1/6 + 1/6+ 0 = 1/3

    根据贝叶斯公式,在主持人打开C门见到羊的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为
    P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)
    = (1/6) / (1/3)
    = 1/2
    P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)
    = (1/6) / (1/3)
    = 1/2
    在这种情况下,用一个简单的条件概率式P(A|C.sheep)一样可以得出1/2的结果。这就是“
    不换”的原因。遗憾的是,从游戏的设置来看,主持人不知情的可能性很小。

    (二) 另一种思路,玛丽莲问题的拓展

    在三道门的玛丽莲问题中,对游戏者的策略进行观察,他要赢得汽车,可以通过如下途径

    1.第一次选错,主持人打开一道门之后换选
    第一次选错的概率为2/3,然后,换选选对的概率为100%,就是说,第一次选择之后再换选
    ,得奖得概率为2/3*100%=2/3
    2.第一次选对,主持人打开一道门之后不换。
    第一次选对的概率为1/3,不换则得奖率100%。1/3*100%=1/3就是“不换”策略的胜算。

    这个方法可以推广到三道门以上的玛丽莲问题拓展,譬如,在四道门的游戏里,主持人依
    次打开两扇“羊门”,每一次游戏者都有权选择“换”或者“不换”。游戏共有三个步骤
    ,步骤一是“初选”,在步骤二和步骤三,分别有“不换——不换”、“不换——换”、
    “换——不换”和“换——换”四种策略组合,中奖可能分别为:
    1/4
    3/4
    (3/4)*(1/2)=3/8
    1/4(换两次之后换回初选的得奖率)+(3/4)*(1/2)(换两次之后不换回初选)=5/8
    可见,选择“不换——换”得策略最有利。
    由此可以推广到N道门的游戏中,游戏者最有利的对策是一直坚持不换,直到只剩两扇门还
    没有打开时再换。

    上述证明参考自芝加哥大学(UCHICAGO)网页上的解法。

  4. 要是主持人先开羊然后再叫选择呢
    不都是1/2么
    和先选择然后主持人开羊有什么区别。
    这不就是开心辞典去掉一个错误答案么。
    只是选项越少几率越高而已,
    换不换都一样。

  5. 回楼上的。
    主持人的角色很关键:
    1,如果他事先知道羊和车的位置。此题答案是选择换
    2,如果他事先不知道羊和车的位置。此题答案是选择换不换一样。

    1. 顶这个答案。
      1.主持人知道位置:1/3 -> 2/3
      分析如下:
      a)自己选到车的几率是1/3:在此前提下主持人选到羊的几率是1
      b)自己选到羊的几率是2/3: 在此前提下主持人选到羊的几率还是1
      比较一下a)和b),自己处于b)的概率为:
      (2/3 * 1) / (1/3 * 1 + 2/3 * 1) = 2/3
      换吧!

      2.主持人不知道位置:1/2 -> 1/2
      分析如下:
      a)自己选到车的几率是1/3:在此前提下主持人选到羊的几率是1
      b)自己选到羊的几率是2/3: 在此前提下主持人选到羊的几率还是1/2
      比较一下a)和b),自己处于b)的概率为:
      (2/3 * 1/2) / (1/3 * 1 + 2/3 * 1/2) = 1/2
      换与不换一个样!

      不过我想通常主持人是知道具体情况的吧:-)

  6. 可以这样考虑:
    换:
    假如原来选的是汽车(1/3),那么换了就挂了
    假如原来选的是绵羊(2/3),那么换了就赢了
    所以,换的情况下,赢的概率是2/3
    不换:
    假如原来选的是汽车(1/3),那么不换就赢了
    假如原来选的是绵羊(2/3),那么不换就挂了
    所以,不换的情况下,赢的概率是1/3

    这是很简单的问题,可以从实际出发来思考,楼上几个用什么贝叶斯定理来一大堆计算真是很无语

    【善用佳软:看来我不需要补充了。很高兴见到一个和我见解如此相同的分析过程。 虽说不要补充,忍不住仍罗嗦几句:
    ①此问题要点是策略,两种策略选其一:换或不换。不要陷于概率细节,更不要陷于“不同情况”——固定策略就是用来应对变换的情况的;
    ②为了最终胜利,换策略需要开始选错(2/3),不换策略需要开始选对(1/3)——还需要什么分析吗?
    奖励一张50元购物卡,下周一发你信箱。 】

    1. 终于想明白了。
      当主持人必须选羊时情况就不同了,换个确实几率2/3,
      就留在这里当反派吧。

    2. 楼上的这个说法和博主看来一致了,还得到了奖励,可惜是错误的。其实第三个门被打开后,你选第一个门选中的概率在发生变化,已经不是原来的1/3了,但他和第二个门的几率还是相同的。
      实际上这个题,和主持人是否知道那个里面有车都没有关系。这个题这么思维其实就容易了:你选了A,当主持人打开C后,如果B有车的概率会大于A的概率这个结论成立的话,那么假设当初你选的是B不是A,则可以得到结论。A有车的概率大于B,之所以得到互相矛盾的结论,是因为换选B,会获得更大(或者更小)概率的结论是错误的。
      正确的结论是,换与不换概率均等,仅仅是概率值发生了变化而已。

      1. 换一种假设,那就是假如有三个人分别选择了A、B、C三扇门。主持人打开了C门后,3就彻底绝望了。但是对于1和2来说,是否都应该变更自己的选择,去获得更大的概率呢?

        结论是,换和不换结果都是一样的,概率一样,只不过概率值针对某一个时刻,某一种情况都在有所变化而已。

        1. 1.你和主持人都选择了羊
          2.主持人选的必须是羊且和你选择的不是同一只羊
          满足这两个条件时就表示换了就成功了。
          而满足条件的概率就是你选了羊的概率2/3
          所以在当主持人必须选羊时换的几率为2/3

    3. 我觉得博主和chunhao的答案还是有问题,虽然都得到奖励了。

      chunhao这样说:
      假如原来选的是汽车(1/3),那么换了就挂了
      其实当主持人打开一扇羊门后,他原来选汽车的概率已经上升到1/2了(没开之前确实是1/3),这样一来无论他换与否都是1/2的概率,我觉得是一个很简单的问题,大家都受到主持人以前做的事的影响,简单点,从目前来看,不理会以前的事,现在的情况是2个门,一个是汽车一个是羊,你说汽车在每个门后的概率是多大?难道不是吗?
      纯概率学上1/2我觉得没任何问题,当然从心理学分析的话就要知道这个主持人之前是否知道答案。

    4. 确实是两种情况:1.主持人知道汽车在哪道门且特意打开没有汽车的门;2.主持人不知道汽车在哪道门且无意中打开了没有汽车的门。chunhao的解答只适合第一种情况。

  7. 这个问题如果把三扇门的数目变大,就比较容易理解了:

    假如有10000扇门,只有1扇门后面有车,那么随机选中车子的那扇门的概率是1/10000,车子在没选中的门后面的可能是 9999/10000

    现在主持人在你没有选的那 9999 扇门中打开了 9998 扇门后面都是羊,那么剩下那扇门几乎肯定是车子了

    1. 拜托,那9998扇门的几率都跑到没选的门上去了?
      应该是剩下的平分好不?
      去掉9998,剩下两扇门各自1/2

  8. http://coconeth.googlepages.com/monty.htm
    跟主持人有关,分3种情形。
    (1) 情形1:主持人不知情,即主持人打开的那扇门中有可能有汽车,也可能没汽车,则换不换选都无所谓(即汽车在没打开的两扇门中的概率是相等的,均为1/2)。
    (2)情形2:主持人知情,但会打开后面是羊的那扇门。则应改变选择(即剩下的那扇门中有汽车的概率是2/3)。
    (3)情形3:主持人知情,但会打开后面是车的那扇门,则不改变选择(即选中那扇门的概率是1)
    综合:除非与主持人作弊,还是改变选择的好。

  9. 当决定不更换选择时,成功概率p1为 1/n

    当决定更换选择时,成功概率p2为 (1-1/n) * 1/(n-2)

    使得pt = p2-p1,得到,后者将比前者概率增加 1/(n2-2n)

    所以n=3,也就是3门情况下,p1=1/3, p2=2/3, pt=1/3,也就是更换选择提高了一倍的成功率,增加了33%的机会,不换那就脑残了。

    如果将此问题进一步推广为n门m开问题,也就是n个门(n>=3),主持人提示m个门(m<n-1),则此情况下:

    当决定不更换选择时,成功概率p1仍为 1/n

    当决定更换选择时,成功概率p2为 (1-1/n) * 1/(n-m-1)

    使得pt = p2-p1,得到,后者将比前者概率增加 m/n(n-m-1)

    所以,如果是一个8门3开的问题时,p1=1/8, p2=7/32, pt = 3/32,也就是在这种情况下,更换选择你可以增加10%的机会。何乐而不为呢?

  10. 这个不是概率论的经典题嘛
    学概率、随机数学都会学到这题的,想不明白的自己可以去找找贝叶斯公式那章,肯定有这道题的

  11. 我觉得一点难度都没有,用决策树三分钟找到答案。只是通常人们很难相信。
    最初,你选择了一个门,于是出现以下概率事件
    * 1/3概率,选中
    * 2/3概率,没选中
    那么,主持人枪毙了一个错误的。于是你又有以下两个选择。
    更换,和不更换。
    决策树如下:
    * 1/3概率,选中
    o 主持人枪毙了一个
    + 更换,不中
    + 不更换,选中
    * 2/3概率,没选中
    o 主持人枪毙了一个
    + 更换,选中
    + 不更换,没选中
    我们统计总概率,所有更换的方案,其选中结果的总和概率为2/3。而所有不更换的方案,其选中结果的总和概率为1/3。
    一点都不难。

  12. 这问题看你怎么看了,反正是RP问题。

    问你“换还是不换?”,单就这个问题来说,你只有两种选择,也就是二选一,中奖率1/2。

    如果是从选第一个门开始算,那么所有都参加了这个抽奖节目的人中,[最后选择了换的中奖的人]与[最后选择了不换的中奖的人]的人数之比为2:1。

    但这题目最后的问题是问你换不换,不是问你最后中奖的总人数里是选换的人多还是选不换的人多。所以我的答案是无所谓。

  13. http://www.2maomao.com/blog/car-and-goat-ex/
    一年前我就详细分析过了:
    情况0. 主持人知道答案,并且总会打开没有奖的门,那么选择者更换的结果就是2/3的机会中奖

    情况1. 主持人知道答案,并且只在挑战者选择了有奖品的门的情况下提供重选机会,那么更换选择就是100%挂掉

    情况2. 如果主持人知道答案,并且只在挑战者选择了没有奖品的门的情况下提供重选机会,更换选择就会100%中奖

    情况3. 如果主持人也不知道答案,纯粹瞎蒙蒙找到了一个没奖的门,这时换不换都是50%

    情况4. 如果主持人在日期为单号的时候按情况1处理,在日期为双号的时候按情况2处理,那么。。。。。。

    大家看出来了吧,概率论很重要,体会主持人的意思更关键:D

  14. 假设观众是一BT,它认为羊比车好,想抽到羊,那么一开始选中羊的概率是2/3,牵走一只羊,重选,选中羊的概率只有1/2了,他肯定是不换了,因为抽到羊的概率还可以保持原来的3/2。不过我们想抽到的是汽车,换不换由你了。

  15. 我是数学白痴,所以不懂得像楼上几位那样,用什么某某某公式,某某某定义,某某决策树来解决这一问题。我只是用一个平常人的心态来分析一下
    不换:只能得到一只羊
    换:可能得到一只羊或得到一部汽车(换了之后最差最差的结果就是得到一只羊,也就是说相比于不换,自己并没有损失什么,甚至还有部分几率获得更多的利益。)
    因此,当然要换一下啦,呵呵

  16. 晕了,重新看了一遍原题,才发现自己看题不仔细,我还一位观众一开始选中的那门被打开了,是只羊呢

  17. 记得学程序设计的时候老师就讲过了
    理性人应该换,制胜率2/3
    好像T-SQL的一本书里面也有,不记得了

  18. RPWT同学:
    问你“换还是不换?”,单就这个问题来说,你只有两种选择,也就是二选一,中奖率1/2。

    这么理解是有问题的,你的选择成功不取决于你自己,而是门后究竟是什么的概率。门后是汽车的概率一个是2/3,另一扇门后是1/3,怎么选都不是1/2

  19. 当然要换了。
    如果不换,那表明你确定你选择的那个门是汽车,这样几率只有1/3。
    换的话,你的几率有2/3,因为你最初有2/3的机会选择到“羊”门。其中主持人打开“羊”门的行为会影响概率的,因为他们肯定是要打开“羊”门的,而不是“车”门。

  20. 这个是贝叶斯后验概率的问题
    同时也是博弈论中不完全信息问题

    但是博主似乎 翻译的不完整 没有充分显示信息的不对称性

    全文是这样的:
    Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, “Do you want to pick door No. 2?” Is it to your advantage to switch your choice? (Whitaker 1990)

    能求解的应该都能看懂英文,就不翻译了!
    不过博主提供这样一个问题,真的很有趣,少见这样的博客!看来博主的不简单啊 不简单!有才!

  21. 发题目来讨论就要有点诚意,这个题目最重要的前提条件在于,主持人是知道门背后的情况而且他一定会选没有车的门。离开了这个前提,完全就不是那么回事了。

    遗憾的是,哪怕引用的Wikipedia上的信息明明有说明这点,或者用点心在网络上搜索下都能知道这点,贴出的这个题目时还是没提。

  22. 哎,总结下楼上结论。

    1、如果主持人知道哪个门有羊,换门胜率为2/3,不换为1/3
    2、如果主持人不知道哪个门有羊,换门胜率为1/2,不换也为1/2.

    综上,如果是1,换门合适,如果是2,换不换都一样,综合起来那就换门好了,反正不会有损失。

  23. 不明白。
    不管主持人知道答案与否,在没打开羊的门前,观众选中汽车的机率是三分之一。
    在主持人打开羊的门后,观众无法确定主持人是什么心态,这时选中汽车的机率是二选一,二分之一。同上面一位网友说的一样,你不能把机率都加到汽车的门上。

  24. 选择填空,ABC中你知道A肯定不对,然后骗考官说A像正确答案,接着要求去掉一个错误答案,考官想:“你就选A去吧,我把另一个错误答案去掉”,结果你偏不选A,回答正确。

    现在问题是你不知道哪个肯定不正确,但是如果你随便选择一个,它是错误答案的概率是2/3,按照上面的流程走不是就有了2/3的概率么?

  25. 很简单的问题哪,如果不换,那么抽中汽车的概率1/3;如果换,算我倒霉,先前本来抽中汽车,失败的几率1/3,所以成功的几率2/3.

  26. 看到最后有点明白了!
    可以这样理解:
    现在有三个门,两种选择: X — 门A(一个)
    Y — 门B,C (二个)
    你选X,还是Y? 当然是Y!
    而你换的话,其效果是就是和选Y是一样的。

  27. 没想到到现在还能看到这个问题。
    pigzilla: 2009-03-07 9:43, #8127
    发题目来讨论就要有点诚意,这个题目最重要的前提条件在于,主持人是知道门背后的情况而且他一定会选没有车的门。离开了这个前提,完全就不是那么回事了。

    这位同学说得非常对。
    这个问题的出处应该来自某部电影《21》,中文叫《决胜21点》。
    电影中是某教授在课堂出给主角做的测试题。目的是说明用逻辑而不是感情指导行动的正确性。
    台词中有这么一句“请记住,主持人是知道羊在哪个门后的”。

    这个问题在网上看过很多次了,反复转载导致面目全非,在科学松鼠会上也引发过热烈的讨论。
    其实仔细考证一下就很清楚了。

    痛恨当前互联网这股c&p的歪风。

    1. 非常感谢大家的补充和指正。如大家所言,这是一个经典问题,因此经常被大家讨论。

      电影21点(08年作品),是引用此问题而非出处。关于原始出处,从本题目两个名称看,有2个,一是问题来源,一是解答者,都可在wikipedia查到。经典题上确实有主持人知道答案的假设。这样分析的结论更为直观。

      但也有网友扩大此问题到:既然选择者的策略确定,则游戏主持人也会改变策略,以防止大奖概率达到2/3。这种讨论较少,但也是有益的。

      问题描述直接引用和菜头的文字,正如陶哲轩问题引了阮一峰的翻译,未做修改,但如上所述,并非是copy/past的疏漏。

      1. 还以为博主不提主持人知情这个条件,是想强调所谓“策略”的。因为按博主的思路,那个条件无所谓有没有,结论是肯定要换,因为换决不会有损失。所以博主可以说提的是自己改良版的问题而不是原版问题。

  28. 说换的概率是2/3的应该是说整个过程来说,包括没有选第一道门之前的概率也包含了进去。

    显然,当只剩下两道门的时候,概率只有1/2.所以换不换都一样。

    可以这样考虑,你二者选其一的时候的概率显然跟你之前发生过的事情没有任何关系。

  29. 应该换,试想如果是100扇门
    你选了其中的一扇,那选中的概率是1/100
    然后主持人打开了其余的98扇
    这时候你换的话就是1/2
    不换,则还是1/100
    所以应该换。

  30. 我觉得这个问题应该这样想吧:假设a/b/c三个门,主持人已经把c去掉了,你选的门假定是b吧,这时候,假如不换直接开,你获得那个车的概率就是1/3。然后你选a的话,你就是从啊a/b中选了一个,概率是1/2,看上去就是比较高。——暂停一下,这已经是两次概率事件了啊。你如果一直选b的话,你的概率确实是从一开始算的1/3,但问题是,你知道c不是之后,那么这个1/3的概率的概率事件已经结束了。你无论再选a还是继续选b,都已经是下一次的概率事件了,而那次就是一个1/2的选择而已。和你原来选的那个1/3,已经彻底没有关系了啊。

  31. 概率这东西还是得样本充足才好用吧

    说是 1/3 的概率,单次上很难实现“换好于不换”

    只能让 10000 个人来抽奖,才会体现出这结论

    所以我说,换不换是一样的,没必要太在意

    当然我肯定是不换的,因为换了失败后心理负担大

  32. 新游戏:
    你的选择是:
    2号门
    主持人打开的是:
    3号门(它后面的是羊)
    你的选择是:变
    (改选1号门)
    实际上,3个门后面依次是:
    车羊羊
    结果是你得到了车!

    累计:
    理论上得到车的次数:
    不变:339次,变:707次
    实际上,你得到车的次数:
    不变:167次,变:346次
    实际上,你没得到车的次数:
    不变:361次,变:172次

  33. 这个问题,我认为是大家把它复杂化了!
    时间是变化的,概率事件也不是一次事件了!
    我同意概率是1/2.
    这个问题可以通过简单的计算机模拟验证。

  34. 这个问题很容易想,当你选择了钥匙的时候,你得到汽车的几率是1/2,就是要么是汽车,要么不是。主持人打开另一个门之前和之后,这个概率都没有变过。如果你换钥匙,几率是一样的。

  35. 在主持人打开了一扇门之后,另两扇门后面是车的概率都发生了改变,所以换不换都一样,都是1/2的机会.

    试想,如果你选择了一扇门之后,主持人把其他两扇门都打开且都是羊,那你选择的那扇门后面是车的机率是不是还是1/3呢?显然不是!

  36. 不换,我既然开始就选择了第一个,就相信我自己,换了若不是岂不亏了.若不对,只能说明自己第一次运气不好.我不会改变自己原来的选择的.

  37. 终于看懂了
    这个问题的关键还是主持人知道门后面是什么东西。
    主持人既然知道门后面是什么东西,开门的时候就肯定是开羊,去掉一个羊的选项。
    这样的话,只有在最初就选对的情况下(1/3)换门会导致失败。最初选到羊的话(2/3)换个门就可以选到车了。

  38. 确实属于二次概率,没什么意义~ 属于两次既有联系又有区别的事件~ 改不改都是一样的。

    模拟实验下就知道~有时间的就去搞吧,实验是检验真理的唯一标准~!

  39. 假如你选的是A,主持人打开的是C,换与不换的机率呢?
    假如你选的是A,主持人打开的是B,换与不换的机率呢?

  40. 你好
    大家不用纠缠于主持人打开的是什么。
    就相当于一开始让你三选一,后来问你愿不愿意三选二,答案一目了然,不换的是傻子。

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