陶哲轩的数学题——结论与结束

最聪明的数学家陶哲轩最近在博客上出了一道数学题(答案已公布)。另外,插一则通知:有读者反映本博客文章太宽,为此提供自定义功能,读者可点击文章页面右上角链接自行选择宽度为700px或100%。
陶哲轩的数学题

陶哲轩

  陶哲轩(Terence Tao),是华裔澳大利亚籍数学家,最近广为人知是因为美国《探索》杂志评选出“美国20位40岁以下最聪明科学家”名居榜首。陶哲轩的智商介于220至230之间,如此高的智商百万人中才会有一个。更多介绍:1234

陶哲轩的数学题

  (English)在机场中,你想从A点前往B点。(为了将问题简化,假设机场是一条线性通道。)一些区域有电动扶梯(双向的),另一些区域没有。你的步行速度恒定为v,电动扶梯的运行速度为u,因此在扶梯上,你的实际速度为v+u。(显然,你不会搭乘与你前进方向不一致的扶梯。)你的目标是尽可能快地从A点到达B点。

  1. 假定你需要暂停片刻,比如系鞋带。请问你应该在电动扶梯上系,还是在没有上电动扶梯时系?假定两种情况下,系鞋带的时间相同。

  2. 假定你有有限数量的多余能量,用来奔跑。在跑动时,你的速度提高到v’(如果在电动扶梯上,就相应为v’+u)。请问你应该在电动扶梯上跑,还是在没有上电动扶梯时跑?假定两种情况下,你可供奔跑的能量相同。

  3. 在狭义相对论的情况下,上述答案是否发生改变?(中文由阮一峰译

陶哲轩的数学题的答案

  答案不重要,最重要的是“用更简单的分析”得出答案。以下内容隐藏,选中后可以看到:

一、最简单的直观分析
  此类问题有一个经验,就是全程的速度越均匀越好。
  由此得结论:系鞋带要在快的时候进行;加速要在慢的时候进行。

  如果以前没有做过“类似”的题,可能不理解“速度越均匀越好”的策略。请思考以下问题:从A地到B地再原路返回。甲去时10km/h,返时2km/h;乙去时8km/h,返时4km/h;丙往返都是6km/h。三人谁先到达?
  再思考一般化题目:路程s1段的速度为v1;s2段的速度为v2;但要求在一小段时间dt内,速度发生一点改变,改变值为dv。问此dv发生在哪段路,才能更早到达终点?

二、较简单的计算分析:想象成ABC3个人的比赛

问题1:

  A和B先一起走路,再一起上了扶梯。这时,B费时间T来系鞋带。则A到终点时,B还有T*v的距离,需时 T*v/(u+v)
  A和C再比赛,先一起过了扶梯,再一起走路。这时,C费时间T来系鞋带。则A到终点时,C还有T*v的距离,需时 T*v/v才到。
  BC相比,B胜出。即:应该扶梯上系鞋带。
  [更直观分析]:无论何时系鞋带,都会牺牲速度v,对应距离都是vT。但区别在于自己弭补的速度,当然,在扶梯上弭补更快。

问题2:

  A和B一起走路,再一起上了扶梯。这时,B开始加速(值记为dV,时间记为T)。则B到终点时,A还需要 T*dV/(u+v)才到。
  A和C再比赛,先一起过了扶梯,再一起走路。这时,C开始加速。则C到终点时,C还需要 T*dV/v才到。
  BC相比,C优势更大。即:应该走路时加速。
  [更直观分析]:无论何时加速,都会得到速度dV,对应领先距离都是dV*T。但区别在于别人追赶的速度。为了领先最大化,当然要放在低速行走时。

问题3:

  原先对题目理解有误,现在想来,此题应该视为:几项速度都接近光速,并且机场、扶梯、行人是不同的参照系。因此,有可能在不同的参照系中,产生不同的先后关系。
  但如何计算,现在已经不会了。

三、中规中矩的计算分析

  略。

四、代入数值法

  如果不能如方法一那样直观分析,也不能如二、三那样推理,其实,自行设定一些数值来计算,就简单多了——至少可以得出答案。

本文的意义

  本文的价值不在一个趣味题目,也不在结论(当然,你首先要能得出正确的结论),而在于“如何用最容易的方式得出结论”,也就是上面分享的分析思路。
  善用佳软喜欢用简单方式解题,喜欢用简单软件满足需求。比之于武学:出招就用惊世绝学的恐非高手;最高境界的大师对敌,往往举重若轻,只用最简单的招数。我相信,这种风格,或称为价值观,是值得与大家探讨分享的。

尾声

  原文后面,Harald Hanche-Olsen 给出了定性解释,是用了自己与孪生兄弟一起赛跑,“Imagine you are traveling with your twin brother”。接下来有网友认为,这一解释是合理而直观。
  Terence Tao的回复评论中,对第3题做了解释:确实是当时在机场的自然想法;一开始计算时出过错;也算是稍有趣的问题;要假设接近光速,才有可能发生明显的差异。随后,他给出了计算公式。但结论仍然是,问题1、2的策略不变。他说:This does indeed turn out to be smaller than T for any u, v between 0 and c, but this is not immediately obvious, and I do not know of a qualitative explanation (similar to Harald’s explanation of the non-relativistic case) of this. …… Again, it would be good to have an intuitive proof of this fact。

  自己的观点得以验证,纵谈不上高兴,至少也证明没有误导读者。感谢所有参与者和提意见者,补充有益,挑战有益,分享有益,虚心的自信有益!

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《陶哲轩的数学题——结论与结束》有95个想法

  1. 不对。。。应该对于第一、二个问题都是一样的,不管是什么时候系鞋带,最终都是同时到达。 你都分析中,B最后都需要时间不对,下面除以都速度应该和C是一样都。。。对于狭义相对论,问题就要变化来,速度越快,节省都时间越多。所以是在电梯上系鞋带慢,在电梯上加速快。。。

  2. 粗略题后 第一感觉的答案是 电梯上系鞋带和不在电梯上加速的总和会快。
    不过,若是如此常理的答案,作者还贴出来作甚?
    可能会有公式计算出非常规的答案…

      1. 开始对题目的理解是:低速下考虑相对论效应,值也可以忽略。
        现在想来,作者的意思更可能是几个速度接近光速下,机场系的观察者看到的,是否有可能与扶梯/运动的人看到的,存在时间的相对性。现在已经不会计算了,放弃之。

  3. 感觉时间在哪边系鞋带都是一样的呢
    假设从出发地到目的地不系鞋带需要时间T,系鞋带话费的时间为t。
    如果在平地上系鞋带,那么总时间是T+t;
    如果在扶梯上系鞋带,那么总时间也是T+t啊。

    如果说在平地上系鞋带和在扶梯上系鞋带不一样的话,那么就要考虑在扶梯系鞋带的时间会不会超过你从扶梯这头到扶梯那头的时间,如果超出了,那会出事的,鞋带可能正好卡到扶梯头的接缝里,然后你会被卷进扶梯
    O(∩_∩)O哈哈~

  4. 电梯的长度是一定的,所以要加速跑肯定应该在走路的时候;系鞋带应该在电梯上

    第3个问题不懂……

  5. 问题一:应该是在电梯上系,原因是系鞋带这段时间T,人的速度变为零了,如果在路上系那么这段时间的行动距离为0,但如果在电梯上系,距离为电梯速度乘以T。

    问题二:其实是(1/n),n按1递增时(1/n)的变化大小的问题。当在路上时的时间为(X/人的速度),电梯上的时间为(Y/(人的速度+电梯的速度))。当人跑时速度一定大于人行走时的速度。

  6. 解:证明如下:
    1.应该在电梯上系鞋带。
    设电梯长度以及其后长度为V,电梯速度以及个人奔跑速度均为V,
    若在电梯上系鞋带,则:使用合计为V的速度通过电梯,用时1秒,
    使用1秒时间在V的速度下走过平地,1+1=2S
    若在平地上系鞋带,则:使用合计为2V的速度通过电梯,用时0.5秒,
    使用1秒时间在平地上系鞋带,使用1秒时间在V的速度下走过平地,
    0.5+1+1=2.5S
    2.5S大于2S,证明完毕。

    2.应该在平地上加速。
    设电梯长度以及其后长度为6V,电梯速度以及个人奔跑速度均为V,
    加速情况下,可以获得额外的V的速度,持续2秒。
    若在电梯上加速,则:使用合计为3V的速度通过电梯,用时2秒,
    使用6秒时间在V的速度下走过平地,2+6=8S.
    若在平地上加速,则:使用合计为2V的速度通过电梯,用时3秒,
    使用2秒时间在平地上加速通过4V的距离,使用2秒时间使用V的速度
    通过剩下的2V的距离,3+2+2=7S.
    8S大于7S,证明完毕。

    3.相对论…请无视我..

    证明完毕.

  7. 用一句话来解决这个问题:
    在电梯上面呆的越久,能够越快的到达目的地。
    因为你在电梯上获得额外速度的越长,自然能够更快的到达。
    所以:
    在电梯上系鞋带先到达。
    在平地上跑步先到达。

    1. 题目稍做变换,电梯消失了:

      路程s1段的速度为v1;s2段的速度为v2;但要求在一小段时间dt内,速度发生一点改变,改变值为dv。问此dv发生在哪段路,才能更早到达终点?

      结论:如果dv为正,则放在低速段;如果dv为负,则放在高速段。

      两种情况其实就是问题2和问题1。

  8. 第三问应该不变。至少上述答案是可能存在的。因为经典力学可以算是狭义相对论的一个特殊情况。
    但是善用佳软的逻辑似乎不对,子集正确并不能推出父集正确吧,但是可以推出这个答案是父集中的一个可能答案。

    善用佳软回复:
      严格意义的第3问是,考虑狭义相对论效应,答案是否改变?我认为同一个问题的正确答案只有一种。此日常现象肯定符合经典力学,既然能从这一理论得出结论,则换用适用性更广的父集理论,结论不会改变。否则,就不是子父集的关系,而是两种并列理论。
      这里的狭义相对论,应该就是v3=(v1+v2)/(1+v1*v2/c*c)吧?因为我的上述简化分析——不是分析各自需要多少时间,而是直接分析其时间差——的前提就是 v3=v1+v2 ,所以,无法再给出这样容易理解的比较,故从略了。
      给出计算公式再比较,是最容易的。但我认为,优秀题目的价值在于,用接近日常的思维找出结论。】

  9. 根据题目所示:一段乘坐电梯为加速,一段系鞋带为延长时间,一段加速奔跑为缩短时间。
    那么,要想块就应该尽量延长而不是缩短这个加速的时间(别倒退来延长啊,哈哈)。
    所以,结论很明显,至于什么相对论没什么关系。
    这2题如果把加速电梯换成反向加速电梯,结论就完全不同了吧。

      1. 电梯的长度是恒定的,但是实际上电梯帮助你走的路程是电梯的速度乘以你通过电梯时间,而非电梯的长度。
        在你自身的加速能力有限的情况下,尽量保持自身的能力在最无助的时刻运营,而在有外力帮助时尽量多利用这个资源。

        1. 其实很好理解啊,只要你再电梯上走,电梯带你走的路就小于电梯的长度。所以你尽量要把停下的实际安排在电梯上,让电梯多带你走一段,而尽量把你走的有限的路程从电梯上移开。

    1. 对不起没看清博主还有分析……
      速度越平均越快似乎是完全没有道理的,快慢就是看速度,看“平均速度”,而不是速度是否平均。

      1. 没多阿,前面分别是电梯上走路花的时间和平地上走路花的时间,最后一项t是系鞋带的时间——
        ——不过反正都在系鞋带,去了也说的通,就是整体除去系鞋带外的时间。反正系鞋带时间一样,通过减法立刻会削去。

  10. 同意善用佳软的结论,不过分析是有问题的。

    简单的直觉能够启示人获得结论,但不能代替论证本身,极值法也不能用在证明题中,直觉和特例是不可信的。

    在赋值运算中,参量的变化可能导致多解,即使在牛顿力学中都不能确定只有一个答案,何况是父集的相对论。”真相只有一个”,不是真相只有一种情况。

    善用佳软回复:
      刚刚在最后一段做了补充,关于发表本文的意义。如果纯分析论证,则前2问只是一道中学物理题;第3问无非加了狭义相对论的一个公式,最多算是大学普通物理的小题。
      我支持严密论证的方法,但在此想强调的是变通和看到本质。Terrence Tao 的一些传奇成就与他的研究方向并非直接相关,但让他成功的,正是“敏锐地发现那些陌生的问题同自己擅长的领域的本质联系,然后调动自己的智慧来攻克之。” 我们没有这样的天才,但仍可以把一些貌似专业的问题,降低到生活层面上来解决。就这个题目而言,公式计算非一般人所能,但我的分析旨在让更多人可以理解。】

    1. 既然是说”大道至简”,那要先证明是正道才行,否则无以立足。一面以反智姿态鄙视繁琐,一面回避严密的论述,这种两头取巧的花招儿是不行的。看过很多极简的证明,都是直抵问题的本质,而不是思维的跳荡,那就近似神秘主义了。

      知道你要表达的意思,只是附会在这里不合适。

    2. 你的“最简单的分析”毫无正确的思维在里面,电梯帮你的时间才是决定性的是变化的!
      而关于你的一切,都是恒定的。
      很多人没真正看到问题的本质。

  11. 假设扶梯以光速运行,人则是蜗牛爬。这样问题就
    转化为谁先踏上扶梯谁赢(最快到达目的地)。所以,

    1. 在路上不要浪费时间系鞋带。
    2. 一定要在路上加速以尽快到达光速扶梯。

    另,哲学,我认为,不能代替自然科学。这些题也就是那些百万挑一的人瑞们玩的。别在上面浪费时间,准备些精密的数据和严格的过程,干正事要紧。

      1. 这只是个分析。对于任何一个问题,如果解唯一的话,那么在边界条件处的解不变。所以考虑这一类问题就是在边界处进行分析,因为这样能简化许多。

        当然,如果要严密地分析来分析去,那还不如通过解析式来求解。只是解析式更简单(或者说更西方),只通过叙述则是典型的中国古代数学解法。

  12. 上过高中的人想法总是不一样的?
    我的想法:
    (1)系鞋带用的t秒中此人永远少走了tv米,因此两者相同。
    (2)加速的t秒中此人永远多走了(v’-v)t米,因此两者相同。
    (3)我不知道……

    1. 你的想法是片面的,
      (1)虽然你系鞋带t秒少走tv米是固定的,但是假设你在电梯上呆的时间为t2, 电梯帮你多走的t2u米是两者不同的
      因为电梯长度固定,在电梯上系鞋带会导致t2更长

      (2)也可以类似的考虑

    2. Richard同学你错啦。。。。两种情况下,少走的tv米的v是不一样的。另外,多走(v’-v)t米后,剩下的路程也是不一样的。。。

  13. 答案,
    原则:能量守恒
    1,不做功的时间相同,电梯做功为恒定附加
    故相同
    2,供奔跑的能量相同,电梯做功为恒定附加
    故相同
    3,在狭义相对论的情况下,能量守恒,结论不变

    1. 电梯做工为功率乘以时间,其实这题主要就是看你能如何分配跑停,从而最大程度延长电梯做功时间。

  14. 直觉回答:
    ——————–
    1、2
    电梯的作用仅仅相当于缩短了距离,所以两种情况均相同。

    3、原文都看不懂……

    附3问原文
    ——————–
    3. Do the answers to the above questions change if one takes into account the various effects of special relativity? (This is of course an academic question rather than a practical one. But presumably it should be the time in the airport frame that one wants to minimise, not time in one’s personal frame.)

  15. 我是这样思考的,既然电梯能增加速度,那就在电梯上多待会,所以1 2 答案跟xbeta一样。
    3 狭义相对论我已经忘差不多了,好像要看电梯速度了。

  16. 不知道这是不是iq220的人给出的答案,否则我真的要笑掉牙齿了,第一个题目给我读小学的儿子做,3分钟就搞定了的事情,我给他的题目是这样的:
    从A到B,总长度15m,其中行走距离5m,电梯长度10m,人的行走速度为每秒5m,电梯的速度为每秒5m,系鞋带需耗时1秒,问:
    1.不系鞋带从A到B要几秒??
    2.在哪里系鞋带对于从A到B所花费的时间有没有影响??

    1. 我最初也认为是一样的,但马上就感觉不对劲,因为通常情况下,如果要节约时间的话,我肯定是要在电梯上系鞋带。

      但题目的一个前提是,在电梯上,人不系鞋带的话,是在行走的。我想是正这个设置干扰了我的思维。

      另外,通常情况下,为了赶时间,必定会在路上和电梯上都跑步,如果非在某一段休息一下的话,肯定会选择在电梯上。

      我想题目的答案应该跟人们日常的选择是一致的。

  17. 嗯…我没有经过什么计算.
    是这么觉得的:
    关于能量~~

    因为在电梯上有外界给你能力…所以在电梯上的时间多长,你得到的能量越多,速度就会越快.
    因此:
    1.在电梯上系鞋带,会延长你在电梯上的时间,电梯对你提供的能量相对较多,所以应该在电梯上系.
    2.在电梯上加速,会缩短你在电梯上的时间,这样电梯对你提供的能量较少,所以在无电梯状态加速..
    3.不懂~

  18. 很简单,小学生都会
    x y v(x+y)+xu x+y xu
    – + — = ——— = — + ——
    v v+u v(v+u) v+u v(v+u)
    一眼就看出 v 增加比 u 增加用的时间更短

  19. 空格乱了……用.代替
    x….y….v(x+y)+xu…x+y…..xu
    -.+.—.=.———.=.—.+.——
    v…v+u…v(v+u)……v+u…v(v+u)

  20. @楼主
    后来计算了一下,发现和博主的答案是一样的…
    过程如下:
    设A为电梯上系,B为平地上系.
    电梯阶段:
    A比B多用时间为t-tu/(u+v)
    平地阶段:
    B比A多用时间就是t
    显然v/(u+v)<1
    所以在电梯系花的总时间少.

    原来遇到过这么类似的问题,却没有仔细去分析它…
    有时候动下脑筋会发现,思维要散开确实很有趣.举个实例:

    A和B不熟,但手机没电,借B的电话给C打电话…道过谢后就走了.
    之后,A有急事要找B…但是找不到B,自己的电话又没存B的号.

    A问我怎么办的时候,我立马告诉他了一个方法.

    相信你也想到了是啥办法吧…哈哈,有时候思维扩散一下,事情真的会顺很多呢~~

  21. 1.系鞋带与电动扶梯无关。
    2.奔跑就不能简单的说了:电动扶梯和一般的电梯是不同的。一般的电梯直上直下的,所以其内不能奔跑;电动扶梯则可以奔跑。电动扶梯会有两种情况吗:A平的!如果是平的,奔跑就与电动扶梯无关了;B斜着向上的,此时奔跑就与电动扶梯有关了!各位,有在电动扶梯上奔跑过吗,和在平地上有什么不同?在电动扶梯上奔跑要困难一些,为何?因为你除了用于和平地上一样的能量外,还多了一部分向上的能量。然而条件中用于奔跑的能量是一样的,所以我选择在平地上奔跑。
    3.常人的思维都是建立在狭义相对论下的,我是平凡人,所以,我认为是一致的。

  22. 二、较简单的计算分析 中有笔误. 估计实际上没人关注.

    自己在机场出来的时候似乎也想过类似问题.
    原题中同能量,意思是 deltaE 是固定的, dVT 相等和这个等价嘛? 速度越高,同dV 需要越多能量. 不过此题中影响不大.
    最后说的好,此题关键是启示用直觉来解决问题,前沿性的领域,本来就是探索未知,靠的就不是你已经知道的知识,而是 — 你的直觉.

    接近光速的时候,距离会因为速度发生变化,且因为越接近光速变化的量就越明显且无法忽略,即同长度这个假设前提被打破.

  23. 善用:你所说的
    “问题1:

      A和B先一起走路,再一起上了扶梯。这时,B费时间T来系鞋带。则A到终点时,B还有T*v的距离,需时 T*v/(u+v)。
      A和C再比赛,先一起过了扶梯,再一起走路。这时,C费时间T来系鞋带。则A到终点时,C还有T*v的距离,需时 T*v/v才到。
      BC相比,B胜出。即:应该扶梯上系鞋带。
      [更直观分析]:无论何时系鞋带,都会牺牲速度v,对应距离都是vT。但区别在于自己弭补的速度,当然,在扶梯上弭补更快。“

    为啥A和B比赛,先走路再走扶梯,而A和C比赛,成了行走扶梯再走路。你这个分析方法的关键是在于弥补那段距离的时间里,比赛者采取了什么速度,可你却用这种方法人为地给了B和C不同的速度条件,这不是作弊了么?
    如果C也是先走路再走扶梯,只是他先在走路时就系了鞋带,计算起来,与B的消耗时间值,不就完全相同了么。

    1. xbeta的思路没有问题,A只是一个参照系,及在路上和电梯上都不跑的虚拟人。B,C和A对比之后分别得到差值,再将两个差值进行比较相当于比较B和C。
      但是,xbeta的错误在于:
      在两次计算差值的时候
      1. dV是不一样的,一个是v’,一个是u+v’
      2. T也是不一样的,因为没说扶梯距离和走路距离相同,而且即便相同,扶梯上跑花的时间也要小于路上跑的时间。

      因此,结论推导的没有根据。

      [quote]
      二、较简单的计算分析:想象成ABC3个人的比赛
      问题2:
        A和B一起走路,再一起上了扶梯。这时,B开始加速(值记为dV,时间记为T)。则B到终点时,A还需要 T*dV/(u+v)才到。
        A和C再比赛,先一起过了扶梯,再一起走路。这时,C开始加速。则C到终点时,C(原文笔误,此处应为A)还需要 T*dV/v才到。
        BC相比,C优势更大。即:应该走路时加速。
      [/quote]

      假设扶梯距离和走路距离相同(都是S),那么B到达终点还需 S/(u+v’)*

  24. 根据xbeta的思路(ABC3个人的比赛):

    B到达终点时,A需要S2*(v’-v)/(u+v)的平方
    C到达终点时,A需要S1*(v’-v)/v的平方

    如果S1=S2,及扶梯距离和走路距离相同,走路时跑比较快,在扶梯上跑比较慢。

  25. 假设u>>v,则在电梯上走路所节省的时间可以忽略不计。若在平地上系鞋带则要增加时间t0,因此在电梯上系鞋带优。

  26. 虽然这个帖子很老,但是我还是想发表一下我的分析(看了下,前面没有重复的:-)

    其实前2个问题想通后非常简单。
    原则就是-让电梯带人走的时间尽可能长!

    原因如下:
    假设人有2种速度: 平时v, 其它时候v'(v’=0 即为系鞋带, v’>v即为提升速度),且v’速度维持时间恒定。

    v’作用时间t1(恒定),v作用时间t2,电梯带人走的时间t3
    total t = t1 + t2
    t1*v’ + t2*v + t3*u = s
    若使total t 越小,则t2需越小,那么t3就该越大。
    如何让t3变大?
    1)在电梯上系鞋带
    2)在平地上加速,而在电梯上用慢速

    关于相对论的问题,相关知识忘得差不多了,就不回答了:-)

  27. A——O—————B
    A-O速度=v ,O-B速度=u
    设系鞋带时间=t
    A-B没系鞋带时间为T
    则:如下
    a种做法——在未上扶梯前系鞋带:
    A——O—————B—C
    同T+t时间所行路程A-C
    b种做法——-上扶梯系鞋带:
    A——O————–B———–D
    同T+t时间所行路程A-D

    BC=vt BD=(v+u)t 显然 AC段<AD段
    总而得出:相同时间(T+t)
    a种做法平均速度< b种做法平均速度
    因而上扶梯系鞋带用时短

  28. 极限分析法:
    问题1:假设A,B之间只有一扶梯,平地认为收缩为A点,假设系鞋带的时间为无穷大,则在平地系鞋带则永远无法到达终点B,在扶梯上则可以!这种情况显然应在扶梯上系鞋带!
    问题2:假设扶梯速度非常大,而人所增加速度极小,那么非常显然在扶梯上加速,作用不大,在平地上加速则显然更好,于是应该在平地上加速!
    虽然,这两种情况非常特殊,但是一般性应包含特殊的情况,也许不严格,但也是一种思考方式!

  29. 我想提出三点假设:
    1.假设系鞋带的时间T小于任何一段单独的乘扶梯或单独的走路的时间。
    2.假设奔跑的时间小于任何一段单独的乘扶梯或单独的走路的时间。
    3.有Z、Y、Z三人。X不系鞋带,不奔跑;Y总是在乘扶梯的时候进行;Z总是在走路的时候进行。

    速度总是相对的。用X作为参照物,明显可感觉Y和Z总是同时到达的。

    至于狭义相对论,没有研究,呵呵。

  30. 陶的意思是:不管在电梯上是跑着的还是系鞋带,下电梯后速度都是u(惯性的作用)+v;下电梯后系鞋带的话,剩下的路程只能用速度v走完。

  31. 假设X在地面上系鞋带;
    Y在电梯上的CD区间系鞋带,系鞋带要时间T;
    在其余路段上,Y花了时间T1.
    X在区间CD花了时间T2.

    那么X比Y多花了时间(T1+T2+T)-(T1+T)=T2

  32. 一、最简单的直观分析
      此类问题有一个经验,就是全程的速度越均匀越好。
      由此得结论:系鞋带要在快的时候进行;加速要在慢的时候进行。

      如果以前没有做过“类似”的题,可能不理解“速度越均匀越好”的策略。请思考以下问题:从A地到B地再原路返回。甲去时10km/h,返时2km/h;乙去时8km/h,返时4km/h;丙往返都是6km/h。三人谁先到达?
      再思考一般化题目:路程s1段的速度为v1;s2段的速度为v2;但要求在一小段时间dt内,速度发生一点改变,改变值为dv。问此dv发生在哪段路,才能更早到达终点?

    二、较简单的计算分析:想象成ABC3个人的比赛

    问题1:

      A和B先一起走路,再一起上了扶梯。这时,B费时间T来系鞋带。则A到终点时,B还有T*v的距离,需时 T*v/(u+v)。
      A和C再比赛,先一起过了扶梯,再一起走路。这时,C费时间T来系鞋带。则A到终点时,C还有T*v的距离,需时 T*v/v才到。
      BC相比,B胜出。即:应该扶梯上系鞋带。
      [更直观分析]:无论何时系鞋带,都会牺牲速度v,对应距离都是vT。但区别在于自己弭补的速度,当然,在扶梯上弭补更快。

    问题2:

      A和B一起走路,再一起上了扶梯。这时,B开始加速(值记为dV,时间记为T)。则B到终点时,A还需要 T*dV/(u+v)才到。
      A和C再比赛,先一起过了扶梯,再一起走路。这时,C开始加速。则C到终点时,C还需要 T*dV/v才到。
      BC相比,C优势更大。即:应该走路时加速。
      [更直观分析]:无论何时加速,都会得到速度dV,对应领先距离都是dV*T。但区别在于别人追赶的速度。为了领先最大化,当然要放在低速行走时。

    问题3:

      原先对题目理解有误,现在想来,此题应该视为:几项速度都接近光速,并且机场、扶梯、行人是不同的参照系。因此,有可能在不同的参照系中,产生不同的先后关系。
      但如何计算,现在已经不会了。

    三、中规中矩的计算分析

      略。

    四、代入数值法

      如果不能如方法一那样直观分析,也不能如二、三那样推理,其实,自行设定一些数值来计算,就简单多了——至少可以得出答案。

  33. 我觉得可以这样想:因为路程在一样的,那么可以将电梯思维移动,这样在不在电梯上根本就没区别。而所谓奔跑根本就是电梯的另一种说法。

  34. 太简单了,大家这样想,第一种情况,哨子响时等T时间再出发,相当于扣鞋带的时间;另一种就是哨子响时人正好在电梯上,这样他站着不动T时间,但他已经移动了uT距离,下面的事情就是第一种情况T后还有全程L距离要走,第二种是T后就还剩L-uT距离要走,OK,可想而知,第二种要快点

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