陶哲轩的数学题——结论与结束

最聪明的数学家陶哲轩最近在博客上出了一道数学题(答案已公布)。另外,插一则通知:有读者反映本博客文章太宽,为此提供自定义功能,读者可点击文章页面右上角链接自行选择宽度为700px或100%。
陶哲轩的数学题

陶哲轩

  陶哲轩(Terence Tao),是华裔澳大利亚籍数学家,最近广为人知是因为美国《探索》杂志评选出“美国20位40岁以下最聪明科学家”名居榜首。陶哲轩的智商介于220至230之间,如此高的智商百万人中才会有一个。更多介绍:1234

陶哲轩的数学题

  (English)在机场中,你想从A点前往B点。(为了将问题简化,假设机场是一条线性通道。)一些区域有电动扶梯(双向的),另一些区域没有。你的步行速度恒定为v,电动扶梯的运行速度为u,因此在扶梯上,你的实际速度为v+u。(显然,你不会搭乘与你前进方向不一致的扶梯。)你的目标是尽可能快地从A点到达B点。

  1. 假定你需要暂停片刻,比如系鞋带。请问你应该在电动扶梯上系,还是在没有上电动扶梯时系?假定两种情况下,系鞋带的时间相同。

  2. 假定你有有限数量的多余能量,用来奔跑。在跑动时,你的速度提高到v’(如果在电动扶梯上,就相应为v’+u)。请问你应该在电动扶梯上跑,还是在没有上电动扶梯时跑?假定两种情况下,你可供奔跑的能量相同。

  3. 在狭义相对论的情况下,上述答案是否发生改变?(中文由阮一峰译

陶哲轩的数学题的答案

  答案不重要,最重要的是“用更简单的分析”得出答案。以下内容隐藏,选中后可以看到:

一、最简单的直观分析
  此类问题有一个经验,就是全程的速度越均匀越好。
  由此得结论:系鞋带要在快的时候进行;加速要在慢的时候进行。

  如果以前没有做过“类似”的题,可能不理解“速度越均匀越好”的策略。请思考以下问题:从A地到B地再原路返回。甲去时10km/h,返时2km/h;乙去时8km/h,返时4km/h;丙往返都是6km/h。三人谁先到达?
  再思考一般化题目:路程s1段的速度为v1;s2段的速度为v2;但要求在一小段时间dt内,速度发生一点改变,改变值为dv。问此dv发生在哪段路,才能更早到达终点?

二、较简单的计算分析:想象成ABC3个人的比赛

问题1:

  A和B先一起走路,再一起上了扶梯。这时,B费时间T来系鞋带。则A到终点时,B还有T*v的距离,需时 T*v/(u+v)
  A和C再比赛,先一起过了扶梯,再一起走路。这时,C费时间T来系鞋带。则A到终点时,C还有T*v的距离,需时 T*v/v才到。
  BC相比,B胜出。即:应该扶梯上系鞋带。
  [更直观分析]:无论何时系鞋带,都会牺牲速度v,对应距离都是vT。但区别在于自己弭补的速度,当然,在扶梯上弭补更快。

问题2:

  A和B一起走路,再一起上了扶梯。这时,B开始加速(值记为dV,时间记为T)。则B到终点时,A还需要 T*dV/(u+v)才到。
  A和C再比赛,先一起过了扶梯,再一起走路。这时,C开始加速。则C到终点时,C还需要 T*dV/v才到。
  BC相比,C优势更大。即:应该走路时加速。
  [更直观分析]:无论何时加速,都会得到速度dV,对应领先距离都是dV*T。但区别在于别人追赶的速度。为了领先最大化,当然要放在低速行走时。

问题3:

  原先对题目理解有误,现在想来,此题应该视为:几项速度都接近光速,并且机场、扶梯、行人是不同的参照系。因此,有可能在不同的参照系中,产生不同的先后关系。
  但如何计算,现在已经不会了。

三、中规中矩的计算分析

  略。

四、代入数值法

  如果不能如方法一那样直观分析,也不能如二、三那样推理,其实,自行设定一些数值来计算,就简单多了——至少可以得出答案。

本文的意义

  本文的价值不在一个趣味题目,也不在结论(当然,你首先要能得出正确的结论),而在于“如何用最容易的方式得出结论”,也就是上面分享的分析思路。
  善用佳软喜欢用简单方式解题,喜欢用简单软件满足需求。比之于武学:出招就用惊世绝学的恐非高手;最高境界的大师对敌,往往举重若轻,只用最简单的招数。我相信,这种风格,或称为价值观,是值得与大家探讨分享的。

尾声

  原文后面,Harald Hanche-Olsen 给出了定性解释,是用了自己与孪生兄弟一起赛跑,“Imagine you are traveling with your twin brother”。接下来有网友认为,这一解释是合理而直观。
  Terence Tao的回复评论中,对第3题做了解释:确实是当时在机场的自然想法;一开始计算时出过错;也算是稍有趣的问题;要假设接近光速,才有可能发生明显的差异。随后,他给出了计算公式。但结论仍然是,问题1、2的策略不变。他说:This does indeed turn out to be smaller than T for any u, v between 0 and c, but this is not immediately obvious, and I do not know of a qualitative explanation (similar to Harald’s explanation of the non-relativistic case) of this. …… Again, it would be good to have an intuitive proof of this fact。

  自己的观点得以验证,纵谈不上高兴,至少也证明没有误导读者。感谢所有参与者和提意见者,补充有益,挑战有益,分享有益,虚心的自信有益!

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